Préparation au Bac - Spécialité
Exercices type Bac
Exercice 1 : Bac Général 2021 - Exercice 1 - Suites et Analyse
On considère les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) telles que :
Pour tout entier naturel \( n \),
\[ u_n = -3 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n} \] \[ v_n = -3 + \left(\dfrac{1}{8}\right)^{n} \]
On considère de plus une suite \( (w_n) \) qui, pour tout entier naturel \( n \), vérifie
\( u_n \leq w_n \leq v_n \).
On peut affirmer que :
- ALa suite \( (w_n) \) est croisssante
- B Les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) sont ni géométriques ni arithmétiques
- CLa suite \( (u_n) \) est minorée par \( -3 \)
- D\( (w_n) \) converge vers \( -3 \)
On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = \left(-4x + 1\right)e^{2x^{2} -2x -2} \]
La fonction dérivée de \( f \) est la fonction \( f' \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :Déterminer : \[ \lim_{x \to +\infty}{\dfrac{-5x + 6}{-7x^{2} -7x + 4}} \]
On considère une fonction \( h \) continue sur l’intervalle \( \left[ -10 ; 2 \right] \) telle que \[ h(-10) = -1 \quad h(-4) = -8 \quad h(2) = -1 \]
On peut affirmer que :- ALa fonction \( h \) est positive sur l'intervalle \( \left[ -10; 2 \right] \)
- BIl existe au moins un nombre réel \( a \) dans l’intervalle \( \left[ -4; 2 \right] \) tel que \( h(a) = -7 \).
- CL’équation \( h(x) = -6 \) admet exactement deux solutions dans l’intervalle \( \left[ -10; 2 \right] \).
- DLa fonction \( h \) est décroissante sur l’intervalle \( \left[ -10; -4 \right] \).
On suppose que \( g \) est une fonction dérivable sur l’intervalle \( \left[ −4; 4\right] \). On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée \( g′ \).
On peut affirmer que :- A\( g \) est décroissante sur l’intervalle \( \left[ -2; 1 \right] \).
- B\( g \) admet un minimum en \( 0 \).
- C\( g \) est concave sur l’intervalle \( \left[ -2; 0 \right] \).
- D\( g \) admet un maximum en \( 4 \).
Exercice 2 : Type Bac - Probabilités, suite et Python
Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation : la formation avec conduite accompagnée et la formation traditionnelle.
Dans ce groupe :
- - \( -75 + 165 \) personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, \( 75 \) ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
- - \( 120 \) personnes se sont présentées à l'examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, \( 60 \) ont réussi l'examen à la première présentation, \( 40 \) à la deuxième et \( 20 \) à la troisième présentation.
On considère les événements suivants :
- - \( A \) : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
- - \( T \) : « la personne a suivi une formation traditionnelle » ;
- - \( R1 \) : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
- - \( R2 \) : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
- - \( R3 \) : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
On note \( X \) la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, \( X = 1\) correspond à l'événement \( R1 \).
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \( X \).On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
On choisit, successivement et de façon indépendante, \( n \) personnes parmi les \( 210 \) du groupe étudié, où \( n \) est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de \( n \) personnes parmi les \( 210 \) personnes du groupe.
Dans le contexte de cette question, exprimer la probabilité qu'au moins une personne parmi \( n \) personnes choisies réussisse l'examen à la troisième présentation.La fonction renverra -1 si le seuil n'est pas atteignable.
Exercice 3 : Type Bac - Évolution de la température du pain : Équations différentielles, Fonction exponentielle, Suites
Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de \(200°C\).
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction \( f \) définie et dérivable
sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\). Dans cette modélisation, \(f(t)\) représente la température en degré
Celsius de la baguette au bout de la durée \(t\), exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, \(f(0,5)\) représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du
four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à \( 26\:\text{°C} \).
On admet alors que la fonction \( f \) est solution de l'équation différentielle \( y' + 8 y = 208 \).
On utilisera le clavier virtuel pour écrire l'unité.
- A.La température tend à se stabiliser à la température ambiante
- B.La température augmente puis décroît
- C.La température décroît
- D.La température est constante
On donnera une valeur approchée à la minute près de \( T_0 \).
Exemple de réponse pour \( 1h30min \) : 90
Ainsi, pour un entier naturel \(n\), \( D_n \) désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la n-ième et la (n + 1)-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel \(n\) : \[ D_n=f(\dfrac{n}{60}) - f(\dfrac{n+1}{60}) \]
On donnera une valeur approchée à \( 0,1 \) près de \( D_0 \).
Si elle n’admet pas de limite, écrire “indefinie”
Exercice 4 : Bac Général 2021 - Exercice 1 - Suites et Analyse
On considère les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) telles que :
Pour tout entier naturel \( n \),
\[ u_n = -4 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \] \[ v_n = -4 + \left(\dfrac{1}{7}\right)^{n} \]
On considère de plus une suite \( (w_n) \) qui, pour tout entier naturel \( n \), vérifie
\( u_n \leq w_n \leq v_n \).
On peut affirmer que :
- ALa suite \( (w_n) \) est croisssante
- B Les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) sont géométriques
- CLa suite \( (v_n) \) est majorée par \( -4 \)
- D\( (w_n) \) converge vers \( -4 \)
On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = \left(x + 3\right)e^{3x^{2} -4x + 3} \]
La fonction dérivée de \( f \) est la fonction \( f' \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :Déterminer : \[ \lim_{x \to -\infty}{\dfrac{-4x^{2} + 6x + 4}{4x^{2} - x -2}} \]
On considère une fonction \( h \) continue sur l’intervalle \( \left[ 4 ; 9 \right] \) telle que \[ h(4) = 7 \quad h(\dfrac{13}{2}) = 5 \quad h(9) = 7 \]
On peut affirmer que :- ALa fonction \( h \) est croissante sur l’intervalle \( \left[ \dfrac{13}{2}; 9 \right] \).
- BIl existe au moins un nombre réel \( a \) dans l’intervalle \( \left[ \dfrac{13}{2}; 9 \right] \) tel que \( h(a) = 4 \).
- CL’équation \( h(x) = 6 \) admet au moins deux solutions dans l’intervalle \( \left[ 4; 9 \right] \).
- DLa fonction \( h \) est positive sur l'intervalle \( \left[ 4; 9 \right] \)
On suppose que \( g \) est une fonction dérivable sur l’intervalle \( \left[ −4; 4\right] \). On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée \( g′ \).
On peut affirmer que :- A\( g \) admet un maximum en \( 2 \).
- B\( g \) est décroissante sur l’intervalle \( \left[ -2; 1 \right] \).
- C\( g \) est convexe sur l’intervalle \( \left[ 1; 2 \right] \).
- D\( g \) admet un minimum en \( 0 \).
Exercice 5 : Type Bac - Probabilités, suite et Python
Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation : la formation avec conduite accompagnée et la formation traditionnelle.
Dans ce groupe :
- - \( -120 + 255 \) personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, \( 120 \) ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
- - \( 180 \) personnes se sont présentées à l'examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, \( 120 \) ont réussi l'examen à la première présentation, \( 40 \) à la deuxième et \( 20 \) à la troisième présentation.
On considère les événements suivants :
- - \( A \) : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
- - \( T \) : « la personne a suivi une formation traditionnelle » ;
- - \( R1 \) : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
- - \( R2 \) : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
- - \( R3 \) : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
On note \( X \) la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, \( X = 1\) correspond à l'événement \( R1 \).
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \( X \).On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
On choisit, successivement et de façon indépendante, \( n \) personnes parmi les \( 315 \) du groupe étudié, où \( n \) est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de \( n \) personnes parmi les \( 315 \) personnes du groupe.
Dans le contexte de cette question, exprimer la probabilité qu'au moins une personne parmi \( n \) personnes choisies réussisse l'examen à la troisième présentation.La fonction renverra -1 si le seuil n'est pas atteignable.